Question

设定义域为R的函数f（x）=

a|x-1|，(x≥0) x2+bx+c，(x＜0)

，f（2）=4，f（-3）=f（-1）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数解，求实数m的值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（2）=a=4；f（-3）=9-3b+c=1，f（-1）=1-b+c=1；从而得到a=4，b=4，c=4；从而写出解析式．
（2）作f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

的图象，从而化关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数解为t²-（2m+1）t+m²=0有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；另一个解在（1，4）之间，从而解得．

解答： 解：（1）由题意，f（2）=a=4；
f（-3）=9-3b+c=1，
f（-1）=1-b+c=1；
则a=4，b=4，c=4；
故f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

；
（2）作f（x）=

4|x-1|，x≥0 x2+4x+4，x＜0

的图象如下，

则若使关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数解，
则t²-（2m+1）t+m²=0有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；
若1是t²-（2m+1）t+m²=0得解，
则1-（2m+1）+m²=0；
故m=0或m=2；
若m=0，则t²-（2m+1）t+m²=0的两个解为1，0；不成立；
若m=2，则t²-（2m+1）t+m²=0的两个解为1，4；由图知不成立；
若4是t²-（2m+1）t+m²=0得解，
则16-4（2m+1）+m²=0；
故m=6或m=2；
若m=6，则t²-（2m+1）t+m²=0的两个解为4，9；不成立；
故不存在．

点评：本题考查了分段函数的求法及综合应用，属于中档题．