Question

已知函数f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-2)+1，(x＞0)

，把函数g（x）=f（x）-

1

2

x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=（　　）

• A、45
• B、55
• C、90
• D、110

Answer 1

考点：数列的求和,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）-

1

2

x在（-2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）-

1

2

x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．

解答： 解：当0＜x≤2时，有-2＜x-2≤0，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-2，
当2＜x≤4时，有0＜x-2≤2，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-4+1，
当4＜x≤6时，有2＜x-2≤4，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-6+2，
当6＜x≤8时，有4＜x-1≤6，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-8+3，
以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-2n-2+n，
∴函数f（x）=2^x的图象与直线y=

1

2

x+1的交点为：（0，1）和（-1，

1

2

），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
将函数f（x）=2^x和y=

1

2

x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2^x-1和y=

1

2

x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（-1，-

1

2

）．
即当x≤0时，方程f（x）-

1

2

x=0有两个根x=-1，x=0；
当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）-

1

2

x的零点为1，2；
以此类推，函数y=f（x）与y=

1

2

x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：
3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；
综上所述函数g（x）=f（x）-

1

2

x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，2，4，…，
其通项公式为：a_n=2（n-1），前10项的和为S₁₀=10×0+

10×9×2

2

=90．
故选：C．

点评：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．