Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C₁经过点P（

4

3

，

1

3

）．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）双曲线C₂以椭圆C₁的顶点为焦点，以椭圆C₁的焦点为顶点，求曲线C₂的方程；
（3）双曲线C3与双曲线C₂以拥有相同的渐近线，且双曲线C₃过（1，2）点，求曲线C₃的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的c=1，再由a，b，c的关系和点代入椭圆方程，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）求出双曲线的c，a，再由a，b，c的关系，得到b，进而得到双曲线方程；
（3）求出双曲线C₂的渐近线方程，设出双曲线C₃的方程为y²-x²=λ（λ≠0），代入点的坐标，即可得到双曲线方程．

解答： 解：（1）由条件可得，椭圆C₁的c=1，即有a²-b²=1，
代入点P的坐标，得

16

9a2

+

1

9b2

=1，
解得，a=

2

，b=1．
则有椭圆C₁的方程为

x2

2

+y²=1；
（2）双曲线C₂以椭圆C₁的顶点（±

2

，0）为焦点，
以椭圆C₁的焦点（±1，0）为顶点，
则双曲线的c=

2

，a=1，即有b=1，
则双曲线C₂的方程为x²-y²=1；
（3）双曲线C₃与双曲线C₂有相同的渐近线，
即为y=±x，
可设双曲线C₃的方程为y²-x²=λ（λ≠0），
双曲线C₃过（1，2）点，则有λ=4-1=3，
则有双曲线C₃的方程为y²-x²=3．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和双曲线方程的关系，考查运算能力，属于基础题和易错题．