Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N（设M，N均在第一象限），当直线MF₁与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e₀，则e₀所在的区间为（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（

  2

  ，

  3

  ）
• C、（

  3

  ，2）
• D、（2，3）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点M，再与双曲线的方程联立，求得交点N，再与两直线平行的条件：斜率相等，得到方程，注意结合a，b，c的关系和离心率公式，得到e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，令f（x）=x³+2x²-2x-2，运用零点存在定理，判断f（1），f（

2

），f（

3

），f（2），f（3）的符号，即可得到范围．

解答： 解：双曲线的c²=a²+b²，e₀=

c

a

，
双曲线的渐近线方程为y=

b

a

x，
与圆x²+y²=c²联立，解得M（a，b），
与双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1联立，
解得交点N（

a2c2+a2b2

c

，

c4-a2c2-a2b2

c

），
即为N（

a 2c2-a2

c

，

c2-a2

c

），
直线MF₁与直线ON平行时，即有

b

a+c

=

c2-a2

a 2c2-a2

，
即（a+c）²（c²-a²）=a²（2c²-a²），
即有c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
即有e₀³+2e₀²-2e₀-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
由于f（1）＜0，f（

2

）＞0，f（

3

）＞0，f（2）＞0，f（3）＞0，
则由零点存在定理可得，e₀∈（1，

2

）．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查两直线平行的条件，考查运算能力，属于中档题．