Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是线段PD上一点，PC⊥AQ．
（1）求证AQ⊥面PCD；
（2）求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AQ，由此能证明AQ⊥面PCD．
 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与平面ABQ所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ，
又PC⊥AQ，PC∩CD=C，
∴AQ⊥面PCD．
 （2）解：如图，以A为坐标原点，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4）．
设Q（0，a，4-a），（0≤a≤4），则

PC

=(2，4，-4)，

AQ

=（0，a，4-a），
∵PC⊥AQ，∴

PC

•

AQ

=4a-16+4a=0，解得a=2，
设平面ABQ的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

AQ • n =2y+2z=0 AB • n =2x=0

，取z=1，得

n

=（0，-1，1），
设PC与平面ABQ所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=

2 2

3

，
∴PC与平面ABQ所成角的正弦值为

2

3

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．