Question

1．设平面向量$\overrightarrow a=（x，4），\overrightarrow b=（y，-2），\overrightarrow c=（2，1）$，（其中x＞0，y＞0）若$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$，则$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值为$2\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}，\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$的坐标，结合数量积为0可得xy-2（x+y）-5=0，再由基本不等式转化为关于（x+y）的不等式，求出x+y的最小值，即可求得$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（x，4），\overrightarrow b=（y，-2），\overrightarrow c=（2，1）$，
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（x-2，3），\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=（y-2，-3）$，
由$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$，得（x-2）（y-2）-9=0，
即xy-2（x+y）-5=0．
又x＞0，y＞0，∴2（x+y）+5=xy$≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$，解得x+y≤-2（舍），或x+y≥10．
$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（x+y）^{2}+4}$$≥\sqrt{104}$=$2\sqrt{26}$
故答案为：$2\sqrt{26}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，体现了数学转化思想方法，是中档题．