Question

6．已知函数f（x）=log_a（x-1）+log${\;}_{\frac{1}{a}}$3（a＞0，且a≠1），若f（3a+1）＞f（2a）＞0，则实数a的取值范围是a＞2．

Answer 1

分析 分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，结合对数函数的图象和性质，求出满足条件的实数a的取值范围，综合可得答案．

解答 解：f（x）=log_a（x-1）+log${\;}_{\frac{1}{a}}$3=log_a（$\frac{x-1}{3}$），
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）为减函数，
若f（3a+1）＞f（2a）＞0，则0＜a＜$\frac{2a-1}{3}$＜1，
不存在满足条件的a值；
当a＞1时，f（x）在（1，+∞）为减函数，
若f（3a+1）＞f（2a）＞0，则a＞$\frac{2a-1}{3}$＞1，
解得：a＞2，
综上可得：a＞2，
故答案为：a＞2．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．