Question

10．已知两数列{a_n}，{b_n}满足${b_n}=1+{3^n}{a_n}$（n∈N^*），3b₁=10a₁，其中{a_n}是公差大于零的等差数列，且a₂，a₇，b₂-1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列的公差和首项即可；
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，所以b_n=1+（2n+1）•3ⁿ，利用分组、错位相减求和即可．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
∵3b₁=10a₁，∴3（1+3a₁）=10a₁，∴a₁=3
又a₂=a₁+d=3+d，a₇=a₁+6d=3（1+2d），∵b₂-1=9a₂=9（3+d），
由a₂，a₇，b₂-1成等比数列得，9（1+2d）²=9（3+d）²，∵d＞0，∴1+2d=3+d，d=2
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，所以b_n=1+（2n+1）•3ⁿ
于是，${s}_{n}=（1+3×3）+（1+5×{3}^{2}）+…+（1+（2n+1）×$3ⁿ）．
令T=3×3¹+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ…①，3T=3×3²+5×3³+…+（2n+1）×3ⁿ⁺¹…②
①-②得-2T═3×3¹+2×3²+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=9+2×$\frac{{3}^{2}-{3}^{n+1}}{1-3}-（2n+1）{3}^{n+1}=-2n×{3}^{n+1}$
∴${T}_{n}=n•{3}^{n+1}$，∴${s}_{n}=n+n•{3}^{n+1}=n（1+{3}^{n+1}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，分组求和、错位相减法求和，属于中档题．