Question

13．F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点，过点F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF₂是等边三角形，则$\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}$的值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．

解答 解：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|，
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a，
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°，
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．