Question

若方程nsinx+（n+1）cosx=n+2在0＜x＜π上有两个不等实根，则正整数n的最小值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：运用两角和的正弦公式，化简方程得

n2+(n+1)2

sin（x+θ）=n+2，则方程有解的条件为n²+（n+1）²≥（n+2）²，解得，n≥3或n≤-1．分别对n=3，4讨论方程的解的个数即可判断．

解答： 解：方程nsinx+（n+1）cosx=n+2，
即为

n2+(n+1)2

sin（x+θ）=n+2，
则方程有解的条件为n²+（n+1）²≥（n+2）²，
即为n²-2n-3≥0，解得，n≥3或n≤-1．
由于n为正整数，则n≥3．
当n=3时，方程为3sinx+4cosx=5，
则

3

5

sinx+

4

5

cosx=1，即有sin（x+θ）=1．
x+θ=2kπ+

π

2

，k∈Z，（tanθ=

4

3

）
由于0＜x＜π，0＜θ＜π，则k=0，即有x=

π

2

-θ，
则方程只有一解；
当n=4时，方程为4sinx+5cosx=6，
则有sin（x+θ）=

6

41

，（tanθ=

5

4

），
x+θ=2kπ+arcsin

6

41

或2kπ+π-arcsin

6

41

，
由于0＜x＜π，0＜θ＜π，则k=0，即有x=arcsin

6

41

-θ或π-arcsin

6

41

-θ．
则方程有两解．
故选B．

点评：本题考查三角函数的化简和方程的求解，考查两角和的正弦公式的运用，考查三角函数的求值，属于中档题．