Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CB₁⊥BA₁，∠CAB=

π

2

，AB=2，BC=

5

，求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC=

BC2-AB2

=1，又因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1且AC⊥平面ABB₁A₁，得到A₁C₁是三棱锥C₁-ABA₁的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB₁A₁面积得到△ABA₁的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C₁-ABA₁的体积．

解答： 解：∵AB=2，BC=

5

，
∴Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=1，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1，
又∵AC∥A₁C₁，AC⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁是三棱锥C₁-ABA₁的高．
∵△ABA₁的面积等于正方形ABB₁A₁面积的一半，
∴S△ABA1=

1

2

AB²=2，
三棱锥C₁-ABA₁的体积为V=

1

3

×S△ABA1×A₁C₁=

1

3

×2×1=

2

3

．

点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，着重考查锥体体积公式等知识点，属于中档题．