Question

已知椭圆

x2

3

+y2=1的一个顶点A（0，-1），是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于两个不同的点M，N，且使|AM|=|AN|？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：y=kx+b为AB所在直线方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点C（x₃，y₃），由已知条件推导出C（-

3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），b=

3k2+1

2

，再由36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）＞0，能求出k的范围．

解答： 解：y=kx+b为MN所在直线方程，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点C（x₃，y₃），
则x₃=

x1+x2

2

，y₃=

y1+y2

2

，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0，
则x₁+x₂=-

6kb

1+3k2

，
∴x₃=-

3kb

1+3k2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=-

6k2b

1+3k2

+2b，
整理得y₃=

b

1+3k2

，
∴C（-

3kb

1+3k2

，

b

1+3k2

），
∵|MA|=|AN|，
∴C点在MN的垂直平分线上，
∴

k( b 1+3k2 +1)

-3kb 1+3k2

=-1，
解得b=

3k2+1

2

，
∵x²（1+3k²）+6kbx+3b²-3=0的判别式要大于0，
∴36k²b²-4（3b²-3）（1+3k²）＞0
整理得3k²-b²+1＞0把b²换成（

3k2+1

2

）²
整理得3k⁴-2k²-1＜0即（3k²+1）（k²-1）＜0
∵3k²+1＞0，
∴k²-1＜0，又k≠0，
解得k∈（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查满足条件的直线是否存在的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．