Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）．直线l：y=kx+b经过点P（-1，0）且与曲线y=f（x）相切．
（1）求切线l的方程．
（2）若关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，求实数m的最大值．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）有唯一的零点x₀，求证-1＜x₀＜-

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设切点为（x₁，y₁），求出切点坐标，即可求切线l的方程．
（2）设h（x）=1+x-ln（x+m），求导数，确定函数的单调性，求出最值，即可求实数m的最大值．
（3）函数F（x）有唯一的零点x₀，可知f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）在（x₀，y₀）处有公共切线l，可得e^x₀+x₀=0，设H（x）=e^x+x，证明H（x）在（-m，+∞）上单调递增，即可得出结论．

解答： （1）解：设切点为（x₁，y₁），则
∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
∴切线l：y-e^x₁=e^x₁（x-x₁），
P（-1，0）代入可得0-e^x₁=e^x₁（-1-x₁），
∴x₁=0，
∴切线l：y=x+1；
（2）设h（x）=1+x-ln（x+m），则h′（x）=

x+m-1

x+m

，
∴-m＜x＜1-m时，h′（x）＜0，x＞1-m时，h′（x）＞0，
∴h（x）在x=1-m时取极小值，也是最小值，
∵关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，
∴h（1-m）=2-m≥0，
∴m≤2，
∴实数m的最大值为2．
（3）证明：由题意，方程e^x=ln（x+m）有唯一实根x₀，
即f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）有唯一交点，图象如图所示，

可知f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）在（x₀，y₀）处有公共切线l，
∴e^x₀=

1

x0+m

，
∴e^x₀+x₀=0，
设H（x）=e^x+x，则H′（x）=e^x+1＞0，
∴H（x）在（-m，+∞）上单调递增，
∵H（-

1

2

）=e-

1

2

-

1

2

＞0，H（-1）=

1

e

-1＜0，
∴-1＜x₀＜-

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．