题目内容
6．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），且ω＞0，设f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．
分析 （Ⅰ）由向量和三角函数的知识可得f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由图象可得周期T=π，可得ω值，可得解析式，可得单调递增区间；
（Ⅱ）由题意可得A=$\frac{π}{3}$，可得△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，由基本不等式可得．
解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx-sinωx，2sinωx），且ω＞0，
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（sinωx+cosωx）（cosωx-sinωx）+$\sqrt{3}$cosωx•2sinωx
=cos2ωx-sin2ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，∴2ω=$\frac{2π}{T}$=2，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]；
（Ⅱ）∵b+c=4，f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴由三角形内角的范围可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{b+c}{2}$）2=$\sqrt{3}$，
当且仅当b=c=2时取等号，此时三角形为正三角形，
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角形函数的单调性和面积以及基本不等式，属中档题．
| A． | {-1，1} | B． | {-1，3} | C． | {1，3} | D． | {3，1，-1} |
如图1，四面体PABC中，BC=BP=1，AC=AP=$\sqrt{3}$，AB=2，将△PAB沿直线AB翻折至△P1AB，使点A，P1，B，C在同一平面内（如图2），点M为PC中点．