Question

1．已知函数f（x）=e^x-kx²在区间（0，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（-∞，$\frac{e}{2}$]．

Answer 1

分析 问题转化为k≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出k的范围即可．

解答 解：由函数f（x）=e^x-kx²，x∈R，
则f′（x）=e^x-2kx≥0在（0，+∞）恒成立，
故k≤$\frac{{e}^{x}}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）_min=g（1）=$\frac{e}{2}$，
故k≤$\frac{e}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{e}{2}$]．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．