Question

11．若函数f（x）满足$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）+1}$，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，方程f（x）-4ax-a=0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，$\frac{1}{5}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）在（-1，0）上的解析式，作出函数图形，根据f（x）与直线y=4ax+a有两个交点判断a的临界值，得出a的范围．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）+1}$，∴f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}-1$，
当x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），
∴f（x）=$\frac{1}{x+1}-1$．x∈（-1，0）．
作出f（x）在（-1，1]上的函数图形，如图所示：

令f（x）-4ax-a=0得f（x）=4a（x+$\frac{1}{4}$），
∴y=f（x）与直线y=4a（x+$\frac{1}{4}$）在（-1，1]上有两个交点．
若直线y=4a（x+$\frac{1}{4}$）经过点（1，1），则a=$\frac{1}{5}$；
若直线y=4a（x+$\frac{1}{4}$）与y=$\frac{1}{x+1}-1$相切，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=4ax+a}\\{y=\frac{1}{x+1}-1}\end{array}\right.$，消元得4ax²+（5a+1）x+a=0，
令△=（5a+1）²-16a²=0得a=-1或a=-$\frac{1}{9}$．
当a=-$\frac{1}{9}$时，方程的解为x=-$\frac{5a+1}{8a}$=$\frac{1}{2}$，不符合题意；
故a=-1．
∴a＜-1或0＜a＜$\frac{1}{5}$．
故答案为：$（{-∞，-1}）∪（{0，\frac{1}{5}}]$．

点评 本题考查了函数解析式的求解，方程解与函数图形的关系，属于中档题．