Question

对正整数n，设x_n是关于x的方程nx³+2x-n=0的实数根，记a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3…），（符号[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.5]=-3，[5]=5），
（1）求a₃的值；
（2）计算：

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）．

Answer 1

考点：数列的应用,函数的值

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设t=（n+1）x，得到x=

t

n+1

，构造函数，利用函数的单调性以及函数的零点，判断a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．
（2）直接利用等差数列求和公式以及（1）的结果，直接求解即可．

解答： 解：（1）设t=（n+1）x，则x=

t

n+1

，
∴nx³+2x-n=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，记为g（t）=n

t3

(n+1)3

+2

t

n+1

-n，n∈N，
当n≥2，则g（t）是增函数，
方程g（t）=0只有一个实根t_n． 
g（n+1）=2＞0，
g（n）=

n(1+n-n2)

(n+1)3

＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴

1

2015

（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=

1

2015

×

(2+2016)×2015

2

=1009．

点评：本题考查函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力．