Question

13．函数f（x）=-x³+2（1-a）x²+3ax在区间（-1，0）内单调递增，则a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 先求导，由题意f（x）在（-1，0）内单调递增，转化为（-1，0）是函数单调递增区间的子集，在此区间导数f′（x）≥0恒成立，解得即可．

解答 解：f（x）=-x³+2（1-a）x²+3ax，
∴f′（x）=-3x²+4（1-a）x+3a，
∵f（x）在（-1，0）内单调递增，
∴（-1，0）是函数单调递增区间的子集，在此区间导数f′（x）≥0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≥0}\\{f′（0）≥0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{3a≥0}\\{-3-4（1-a）+3a≥0}\end{array}\right.$，
解得a≥1，
故答案为：[1，+∞）

点评 本题考查函数的单调性以及怎样解决子区间的问题，应用数形结合的方法解决．