Question

5．已知偶函数f（x）满足$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若区间[-1，3]上，函数g（x）=f（x）-kx-k有3个零点，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意，偶函数f（x）满足$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$求出函数f（x）的周期，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么根据周期求再区间[-1，3]上的各解析式．函数g（x）=f（x）-kx-k是一个一次函数，有3个零点只能与每一个解析式都有一个交点．从而求实数k的取值范围．

解答 解：由题意：$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，可得f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数；
当x在[0，1]，f（x）=x，由于f（x）是偶函数，∴x在[-1，0]时，f（x）=-x；
f（x）是周期为2的函数，f（2）=f（0）=0，x在[1，2]时，函数解析式：y=-x+2
x在[2，3]时，函数解析式：y=x-2
函数g（x）=f（x）-kx-k是一个一次函数，看成是f（x）与h（x）
h（x）=kx+k=k（x+1）图象恒过（-1，0），

从图象上可以看出：直线过h（x）=k（x+1）过坐标（3，1）时，与f（x）有4个交点．此时斜率k=$\frac{1}{4}$．
直线过h（x）=k（x+1）过坐标（1，1）时，与f（x）有2个交点．此时斜率k=$\frac{1}{2}$．
不难看出：k在$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$时，f（x）与h（x）有3个交点，即g（x）=f（x）-kx-k有3个零点．
故答案为（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数的周期和分段函数的图象，直线恒过点及斜率的问题．通过数形结合，作出图象，可以看出斜率的范围．综合性强，属于难题．