题目内容
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证明
•
=0，
•
=0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可证明BD⊥平面AEC，从而平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求出平面BED的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC与平面BED所成角的正弦值．
| BD |
| AC |
| BD |
| AE |
（Ⅱ）求出平面BED的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC与平面BED所成角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）
设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）
=（0，2，2），
=（0，-2，2），
=（2，0，0），
=（-2，0，2），
从而有
•
=0，
•
=0，
即BD⊥AC，BD⊥AE，
因为AC∩AE=A，
所以BD⊥平面AEC，
因为BD?平面BED，
所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）
（Ⅱ）解：设平面BED的法向量为
=（x，y，z），
则
，故取
=（1，1，1）…（8分）
而
=（-2，2，2），设直线EC与平面BED所成的角为θ，
则有sinθ=|cos＜
，
＞|=
=
…（12分）
（Ⅰ）证明：以A为原点，AE、AB、AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）设正方形边长为2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）
| AC |
| BD |
| AE |
| ED |
从而有
| BD |
| AC |
| BD |
| AE |
即BD⊥AC，BD⊥AE，
因为AC∩AE=A，
所以BD⊥平面AEC，
因为BD?平面BED，
所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）
（Ⅱ）解：设平面BED的法向量为
| n |
则
|
| n |
而
| EC |
则有sinθ=|cos＜
| n |
| EC |
|
| ||||
|
|
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．
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