题目内容

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ           …①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ          …②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  …③
令α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值．
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA+cosB=2cos
A+B
2
•cos
A-B
2
．
（3）求函数y=cos2x•cos（2x+
π
6
）x∈[0，
π
4
]的最大值．
考点：类比推理,两角和与差的正弦函数
专题：规律型,三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）由sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
，令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值．
（2）由cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ两式相加得：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
，可得结论；
（3）结合（2）的结论，将A=2x，B=2x+
π
6
，代入化简函数的解析式，进而根据x∈[0，
π
4
]，求出相位角4x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，进而根据余弦函数的图象和性质得到函数y=cos2x•cos（2x+
π
6
）x∈[0，
π
4
]的最大值．
解答： 解：（1）∵sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

∴sin15°+cos75°=2sin
15°+75° 
2
•cos
15°-75°
2
=2sin45°•cos（-30°）=
6
2
…3
（2）因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ------②…5
①+②得cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，③
令α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2
，…6
代入③得：cosA+cosB=2cos
A+B
2
•cos
A-B
2
．…7
（3）由（2）知，y=cos2xcos(2x+
π
6
)=
1
2
[cos(4x+
π
6
)+cos
π
6
]=
1
2
cos(4x+
π
6
)+
3
4
…8
∵x∈[0，
π
4
]，
∴4x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，…..9
故函数的最大值为f(0)=
3
2
．…10
点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．
练习册系列答案
相关题目
已知A+B=
5
4
π，且A，B≠kπ+
π
2
（k∈Z），求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．
已知圆锥的表面积为am2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
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（1）根据频率分布直方图完成下表：
酒精含量（单位：mg/100ml） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60）
人数
酒精含量（单位：mg/100ml） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数
（2）根据上述数据，求此次抽查的1000人中属于醉酒驾车的概率；
（3）若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
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（1）若f（x）≥
1
4
，求x的范围；
（2）求f（x）在x∈[-1，1]上的值域．
已知
a
=（4，3），
b
=（-1，2）
（1）求 
a
与
b
的角的余弦；
（2）若（
a
-λ
b
）⊥（2
a
+
b
），求λ；
（3）若（
a
-λ
b
）∥（2
a
+
b
），求λ．
设（5x-
x
）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M-N=240，求展开式中x3项的系数．
为了解某班关注NBA（美国职业篮球）是否与性别有关，对某班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：
关注NBA 不关注NBA 合计
男生 6
女生 10
合计 48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA的学生的概率为
2
3
．
（1）请将上面的表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由；
（2）设甲，乙是不关注NBA的6名男生中的两人，丙，丁，戊是关注NBA的10名女生中的3人，从这5人中选取2人进行调查，求：甲，乙至少有一人被选中的概率．
答题参考：
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n=a+b+c+d．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．
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（Ⅱ）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

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