Question

已知f（x）=ax²+bx+c的图象过点（-1，0）是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

对一切实数x都成立，若存在，求出a，b，c；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答： 解：∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

1+x2

2

对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

1+x2

2

对一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立，
即

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0

，
解得a=

1

4

．
∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴常数a，b，c的值为：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．