Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面AEC
（2）求证：平面D₁DB⊥平面AEC
（3）若P为对角线D₁B的中点，Q为棱C₁C上的动点求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,转化思想,空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）连接BD交AC于F，连EF．可证EF∥D₁B，又EF?平面EAC，从而可求得BD₁∥平面EAC．
（2）先证明AC⊥BD，有DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可证明DD₁⊥AC，从而可证AC⊥平面D₁DB，即证明平面D₁DB⊥平面AEC；
（3）以点D为坐标原点，以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为z轴，建立空间直角坐标系，先求出D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），再求出D₁B的中点P（1，1，1），Q（0，2，z），从而可得PQ=

2+(z-1)2

，可得当z=1时（此时Q为棱C₁C的中点），PQ_min=

2

．

解答： （1）证明：连接BD交AC于F，连EF，
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点，
在DDD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF∥D₁B，
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD …5分
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面ABCD，…6分
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，…7分
DD₁?平面D₁DB，BD?平面D₁DB，BD∩DD₁=D，…8分
∴AC⊥平面D₁DB …9分
∵AC?平面AEC，
∴平面D₁DB⊥平面AEC …10分
（3）解：以点D为坐标原点，以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为z轴，建立空间直角坐标系，…11分
由正方体的棱长为2，知D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
则D₁B的中点P（1，1，1），Q（0，2，z）…12分
PQ=

2+(z-1)2

，…13分
∴当z=1时（此时Q为棱C₁C的中点），PQ_min=

2

…14分

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，空间向量及应用，考查了转化思想，综合性较强，属于中档题．