Question

20．已知{a_n}是公差d≠0的等差数列，a₂，a₆，a₂₂成等比数列，a₄+a₆=26；数列{b_n}是公比q为正数的等比数列，且b₃=a₂，b₅=a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差中项及a₄+a₆=26可知a₅=13，进而通过a₂，a₆，a₂₂成等比数列计算可知d=3，利用q²=$\frac{{b}_{5}}{{b}_{3}}$及$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=4可知q=2，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知a_n•b_n=（3n-2）•2^n-1，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是公差d≠0的等差数列，且a₄+a₆=26，
∴a₅=13，
又∵a₂，a₆，a₂₂成等比数列，
∴（13+d）²=（13-3d）（13+17d），
解得：d=3或d=0（舍），
∴a_n=a₅+（n-5）d=3n-2；
又∵b₃=a₂，b₅=a₆，
∴q²=$\frac{{b}_{5}}{{b}_{3}}$=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=$\frac{3×6-2}{3×2-2}$=4，
∴q=2或q=-2（舍），
又∵b₃=a₂=4，
∴b_n=b₃•q^n-3=4•2^n-3=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，a_n•b_n=（3n-2）•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+4•2¹+7•2²+…+（3n-5）•2^n-2+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1•2¹+4•2²+…+（3n-5）•2^n-1+（3n-2）•2ⁿ，
错位相减得：-T_n=1+3（2¹+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ
=-5-（3n-5）•2ⁿ，
∴T_n=5+（3n-5）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．