Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{13}$，M，N分别为BC，PA的中点
（1）求证：BN∥平面PDM
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，利用面面平行，证明线面平行；
（2）利用面积关系，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

解答 （1）证明：取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，
∵BE∩NE=E，MD∩PD=D，
∴平面BEN∥平面MDP，
∵BN?平面BEN，
∴BN∥平面PDM
（2）解：连接EP，EC，则PE=3，EB=2$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{16+4-2×4×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$
∴PB=$\sqrt{21}$，PC=$\sqrt{37}$，
∴cos∠PAB=$\frac{13+16-21}{2\sqrt{13}×4}$=-$\frac{1}{4\sqrt{13}}$，cos∠PDC=$\frac{13+16-37}{2\sqrt{13}×4}$=-$\frac{1}{\sqrt{13}}$，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{207}}{4\sqrt{13}}$，sin∠PDC=$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}$，
∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{8}{\sqrt{69}}$，大小为arccos$\frac{8\sqrt{69}}{69}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查二面角平面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．