Question

16．设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则点A₁到平面B₁AC的距离是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A₁到平面B₁AC的距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），
设平面B₁AC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
∴点A₁到平面B₁AC的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴点A₁到平面B₁AC的距离是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．