Question

2．已知定义在R上的函数f（x）满足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，x∈（0，1]时，f（x）=2^x，则f（log₂9）等于（　　）

• A． ..
• B． $\frac{9}{8}$
• C． $\frac{8}{9}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 根据函数f（x）满足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，求出函数的周期，利用x∈（0，1]时，f（x）=2^x，即可求f（log₂9）的值．

解答 解：函数f（x）满足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，
可得：f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，
∴函数的周期T=2．
∴f（log₂9）=f（2+log₂$\frac{9}{4}$）=f（log₂$\frac{9}{4}$）．
∵$1＜lo{g}_{2}\frac{9}{4}$＜2
∴f（1+log₂$\frac{9}{8}$）=$\frac{1}{f（lo{g}_{2}\frac{9}{8}）}$，
∵$0＜lo{g}_{2}\frac{9}{8}＜1$，
∴f（log₂$\frac{9}{8}$）=$\frac{9}{8}$
∴f（log₂9）=$\frac{1}{f（lo{g}_{2}\frac{9}{8}）}$=$\frac{8}{9}$．
故选C．

点评 本题考查了函数周期的求法，对数和指数的基本运用，属于中档题．