Question

已知函数f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）＜m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值，可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

=cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx ）-

3

•

1+cos2x

2

+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），
∴函数的最小正周期为 T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

5

6

π，

1

6

π]，∴f(x)max=

1

4

．
∵f（x）＜m在x∈[-

π

4

，

π

4

]上恒成立，∴m＞

1

4

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题．