Question

如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x²+y²=1相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若点A、B在抛物线C上，且

FB

=2

OA

，求点A的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出抛物线C的方程，求出准线方程，利用直线与圆相切求出变量，即可得到抛物线方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点A、B在抛物线C上，代入方程，通过

FB

=2

OA

，化简求解，即可得到A(

2

，

1

2

)点A的坐标．

解答： 满分（12分）．
解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），
其准线l的方程为y=-

p

2

．…（2分）
∵准线l与圆x²+y²=1相切，
∴所以圆心（0，0）到直线l的距离d=|0-(-

p

2

)|=1，解得p=2．…（4分）
故抛物线C的方程为：x²=4y．   …（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

①…（6分）
∵F（0，1），

FB

=(x2，y2-1)，

OA

=(x1，y1)，

FB

=2

OA

，
∴（x₂，y₂-1）=2（x₁，y₁）=（2x₁，2y₁），
即 

x2=2x1 y2=2y1+1

…②…（9分）
②代入①，得4

x

2 1

=8y1+4，

x

2 1

=2y1+1，
又

x

2 1

=4y1，所以4y₁=2y₁+1，解得y1=

1

2

，x1=±

2

，
即A(

2

，

1

2

)或(-

2

，

1

2

)．…（12分）

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．