Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（Ⅰ）若A=

π

4

求a；
（Ⅱ）若sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理列出关系式，将c，sinA，sinC的值代入求出a的值即可；
（Ⅱ）利用正弦定理化简sinA=2sinB，得到a=2b，再利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入得到关系式，联立求出a与b的值，即可确定出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=2，C=

π

3

，A=

π

4

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，即

a

2 2

=

2

3 2

，
则a=

2 6

3

；
（Ⅱ）由正弦定理化简sinA=2sinB得：a=2b①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4②，
联立①②解得：a=

4 3

3

，b=

2 3

3

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

2 3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．