Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（1）若该函数为奇函数，求a；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接根据函数为奇函数，利用f（0）=0，即可求解a的值；
（2）首先，判断该函数为R上的增函数，然后，利用单调性的定义进行证明．

解答： 解：（1）∵函数为奇函数，
∴f（0）=0，
∴a-1=0，
∴a=1，
∴a的值为1．
（2）根据（1）得
f（x）=1-

2

2x+1

，
∴该函数为R上的增函数，证明如下：
任设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

，
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴该函数为R上的增函数．

点评：本题重点考查了函数为奇函数的概念、函数单调性的定义等知识，属于中档题．