Question

cosθ+sinθ=

1

5

，θ∈（0，π），求下列各式的值：
（1）tanθ；
（2）sin³θ-cos³θ

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）cosθ+sinθ=

1

5

，θ∈（0，π）⇒sinθ-cosθ=

7

5

，二式联立可求得sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

，从而可得tanθ；
（2）由（1）知sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

，从而可求sin³θ-cos³θ．

解答： 解：（1）∵cosθ+sinθ=

1

5

，θ∈（0，π），①
∴sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=

1

25

∴sinθcosθ=-

12

25

，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴t=sinθ-cosθ＞0，
∴t²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1+

24

25

=

49

25

，
∴sinθ-cosθ=

7

5

②，
联立①②可得sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

，
∴tanθ=-

4

3

；
（2）sin³θ-cos³θ=(

4

5

)3-(-

3

5

)3=

91

125

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，求得sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．