Question

已知向量

a

=（

1

2

cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

2

cosx）若函数f(x)=

a

•

b

+1．求：
（1）函数的最大值及对应自变量x的集合．
（2）函数的单调增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数的取得最大值时的集合即可得出．
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+1=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
只需2x+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=kπ+

π

6

（k∈Z），
∴y_max=

7

4

．
∴当函数f（x）取最大值

7

4

时，自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ(k∈Z)．
因此函数f（x）的单调递增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题考查了用数量积运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式及其正弦函数的取得最大值时的集合、正弦函数的单调性，属于中档题．