题目内容
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D．连结CF交AB于E点．（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4
| 3 |
| 3 |
考点：与圆有关的比例线段
专题：选作题,立体几何
分析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE2=DB•DA；
（2）由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．
（2）由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．
解答：
（Ⅰ）证明：连结OF．
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA．
∴DE2=DB•DA …（5分）
（Ⅱ）解：由题意，OE=
OB=4，CO=4
，CE=
=8．
∵CE•EF=AE•EB=（4
+4）（4
-4）=32，
∴EF=4． …（10分）
（Ⅰ）证明：连结OF．∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA．
∴DE2=DB•DA …（5分）
（Ⅱ）解：由题意，OE=
| 1 | ||
|
| 3 |
| CO2+OE2 |
∵CE•EF=AE•EB=（4
| 3 |
| 3 |
∴EF=4． …（10分）
点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．
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