Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）．
（Ⅰ）求f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接借助于二倍角公式化简函数解析式为：f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，然后，直接求解f（

π

12

）的值；
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

2

]，然后，借助于三角函数的图象与性质进行求解最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+

3

sinxsin(x+

π

2

)
=sin2x+

3

sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∴f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
∴f(

π

12

)=

1

2

．                                 
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，
-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
∴当2x-

π

6

=-

π

6

时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；
当2x-

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，函数f（x）取得最大值

3

2

．

点评：本题重点考查了二倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题，也是常规题目．