Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=

3

，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）若PA=1，求证：AF⊥PC；
（Ⅱ）若二面角P-BC-A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为

1

6

？

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AF⊥PC，只需证明AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）确定∠PAB为二面角P-BC-A的一个平面角，利用三棱锥F-ACE的体积为

1

6

，求出CE．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA=AB=1，F为PB中点，
∴AF⊥PB（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC（2分）
又∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC（3分）
∴BC⊥平面PAB，而AF?平面PAB（4分）
∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC（5分）
而PC?平面PBC，∴AF⊥PC（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PB⊥BC且AB⊥BC（7分）
∴∠PAB为二面角P-BC-A的一个平面角，
则∠PAB=60°      （8分）
∴PA=AB×tan600=

3

（9分）
∴VF-ACE=

1

3

×

1

2

×EC×1×

1

2

×

3

=

1

6

，解得EC=

2 3

3

（11分）
即CE=

2 3

3

时，三棱锥F-ACE的体积为

1

6

（12分）

点评：本题考查的知识点是空间线面垂直与线线垂直之间的转化，组合几何体的体积，熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化是关键．