Question

已知cosx+3sinx=

5

，求tan2x．

Answer 1

考点：二倍角的正切,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知等式左边提取

10

，利用两角和与差的正弦函数公式化简，表示出x，代入tanx中利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正切函数公式整理后，将tany的值代入计算求出tanx的值，tan2x利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanx的值代入计算即可求出值．

解答： 解：∵

10

（

1

10

cosx+

3

10

sinx）=

5

，即

1

10

cosx+

3

10

sinx=

2

2

，
∴sin（x+y）=

2

2

（cosy=

1

10

，siny=

3

10

，tany=3），
∴x+y=2kπ+

π

4

，k∈Z，即x=2kπ+

π

4

-y，
∴tanx=tan（2kπ+

π

4

-y）=tan（

π

4

-y）=

1-tany

1+tany

=

1-3

1+3

=-

1

2

，
则tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

2×(- 1 2 )

1-(- 1 2 )2

=-

4

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．