Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
（Ⅰ）当EG=2时，求证：CG⊥平面BDG．
（Ⅱ）在线段EF上任意取一点，当该点落在线段EG上的概率为

1

3

时，求二D-BG-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AEGD为为正方形，DG⊥EF，从而得到DG⊥CG，由此利用勾股定理能证明CG⊥面BDG．
（Ⅱ）建立空间坐标系E-xyz，利用向量法能求出此二面角平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵EG=2，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，
AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，
点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
∴AEGD为为正方形，∴DG⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG，
又∵EG=EB=2．∴BG=CG=2

2

，
由BG²+CG²=BC²，知BG⊥CG，BG∩DG=G，
∴CG⊥面BDG．…（6分）
（Ⅱ）解：点E、F分别是AB的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．
由题意得B（2，0，0），D（0，2，2）C（2，4，0），G（0，1，0），
设平面DBG的法向量为

n1

=(x，y，z)，
∴

BG

=(-2，1，0)，

BD

=（-2，2，2），…（7分）
则 

n1 • BD =0 n1 • BG =0

，即

-2x+2y+2z=0 -2x+y=0

取x=1，则y=2，z=-1，∴

n

=(1，2，-1)…（9分）
取面BCG的一个法向量为

n2

=(0，0，1)．
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=-

6

6

…（10分）
∴此二面角平面角的余弦值为

6

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．