Question

如图所示扇形AOB，半径为2，∠AOB=

π

3

，过半径OA上一点C作OB的平行线，交圆弧AB于点P．
（Ⅰ）若C是OA的中点，求PC的长；
（Ⅱ）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,扇形面积公式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）C是OA的中点，在△OPC中，直接利用余弦定理求PC的长；
（Ⅱ）∠COP=θ，利用正弦定理求出OC，表示出△POC面积的表达式，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过三角函数的最值求解函数的最大值及此时θ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵CP∥OB，∠AOB=

π

3

，∴∠OCP=

2π

3

，
若C是OA的中点，则在△OPC中，OP²=OC²+CP²-2OC•CP•cos∠OCP，
即4=1+CP²+CP，解得CP=

13 -1

2

．
（Ⅱ） 由正弦定理

OC

sin( π 3 -θ)

=

OP

sin 2π 3

，OC=

4 3

3

sin(

π

3

-θ)，
所以S△OCP=

1

2

OP•OC•sinθ

= 1 2 •2• 4 3 3 sin( π 3 -θ)•sinθ= 4 3 3 ( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)•sinθ

=2cosθsinθ-

2 3

3

sin2θ=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)=

2 3

3

(

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ)-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

3

，θ∈(0，

π

3

)，
∵2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)∴S△OPC∈(0，

3

3

)．
当θ=

π

6

时，maxS=

3

3

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．