题目内容
3．已知F为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为$\frac{32}{5}$．分析 设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，求出直线AP的方程，即可求出点F到直线AP的距离．
解答 解：设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，直线AP的方程为y=$\frac{4}{1-4}$（x-4），即4x+3y-16=0，
∴点F到直线AP的距离为$\frac{|-16-16|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{32}{5}$，
故答案为：$\frac{32}{5}$
点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
练习册系列答案
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13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，则双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$ | B． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ | C． | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ | D． | $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$ |
在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．
11．a＞b的一个充分不必要条件是（ ）
| A． | a=1，b=0 | B． | $\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$ | C． | a2＞b2 | D． | a3＞b3 |
18．在△ABC中，若BC=2，A=120°，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | -$\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{4}{3}$ | D． | -$\frac{4}{3}$ |
15．圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1，则a=（ ）
| A． | $-\frac{4}{3}$ | B． | $-\frac{3}{4}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
13．函数$y=\frac{6}{{{2^x}+{3^x}}}（-1≤x≤1）$的最小值为（ ）
| A． | 3 | B． | $\frac{6}{5}$ | C． | $\frac{36}{5}$ | D． | $\frac{6}{13}$ |