Question

18．在△ABC中，若BC=2，A=120°，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，⇒4=AC²+AB²-2AC•ABcosA⇒4=AC²+AB²+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=AC•ABcos120°即可

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，∴$（\overrightarrow{BC}）^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$⇒4=AC²+AB²-2AC•ABcosA⇒4=AC²+AB²+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤$\frac{4}{3}$
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=AC•ABcos120°≤$\frac{2}{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$的最大值为 $\frac{2}{3}$，
故选：A．

点评 考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a²+b²≥2ab的应用，属于基础题．