Question

14．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，$AB=AD=\frac{1}{2}CD$，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（II）求二面角P-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM∥AH，由此能证明BM∥平面PAD．
（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-D的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．
因为 M为${x_1}=-\sqrt{2}$中点，所以 $HM∥CD，HM=\frac{1}{2}CD$．
因为$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$．所以AB∥HM且AB=HM．
所以四边形ABMH为平行四边形，所以 BM∥AH．
因为 BM?平面PAD，AH?平面PAD，
所以BM∥平面PAD．…..（5分）
解：（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．
因为 PA=PD，所以PO⊥AD．
因为 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则 $A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，4，0），D（-1，0，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0），\overrightarrow{PB}=（1，2，-\sqrt{3}）$．
平面BCD的法向量$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$，
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\\ \overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n_{\;}}}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ x+2y-\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$令x=1，则$\overrightarrow{{n_{\;}}}=（1，1，\sqrt{3}）$．
$cos＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{{n_{\;}}}＞=\frac{{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n|}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
由图可知，二面角P-BC-D是锐二面角，
所以二面角P-BC-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…..（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．