Question

2．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4的点，|AF|=5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义求出抛物线的p，即可顶点抛物线方程．
（2）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），直线AB的方程为y=x-1，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，利用韦达定理求出|AB|，求出O到直线AB的距离，然后求解数据线的面积．

解答 解：（1）抛物线C的准线方程为：$x=-\frac{p}{2}$
由抛物线的定义可知：$\frac{p}{2}=5-4$
∴p=2
∴抛物线C的标准方程为y²=4x．       …（4分）
（2）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=x-1，…（6分）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，…（8分）…（8分）
所以|AB|=x₁+x₂+p=8，…（10分）
又因为O到直线AB的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×8=2\sqrt{2}$．　　　　…（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．