Question

12．如图所示，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点M，N分别在AC₁和BC上，且满足$\overrightarrow{AM}$=k$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{BN}$=k$\overrightarrow{BC}$（0≤k≤1）．
①向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$共面？
②直线MN是否与平面ABB₁A₁平行？

Answer 1

分析 ①利用向量的线性运算即可得出，向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$共面．
②由①得向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$共面．，且MN?面ABB₁A₁可判定．

解答 解：①$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=（1-k）$\overrightarrow{AB}$+k$\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{A{C}_{1}}=k（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=（1-k）\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{A{A}_{1}}$∴向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$共面．
②由①得向量$\overrightarrow{MN}$是否与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$共面．，且MN?面ABB₁A₁
∴直线MN是否与平面ABB₁A₁平行．

点评 本题考查了空间向量的线性运算，及向量共面的判定、本质意义，属于中档题．