Question

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=6，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；
法二：根据余弦定理化简已知的式子，并求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；
（Ⅱ）由条件和三角形的面积公式表示出△ABC的面积，由基本不等式求出△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）法一：由2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b及正弦定理得，
2sinCcosA+$\sqrt{3}$sinA=2sinB=2sin（A+C），
化简得，$\sqrt{3}$sinA=2sinAcosC，
由sinA≠0得，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜C＜π，则C=$\frac{π}{6}$；
法二：由2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b及余弦定理得，
2c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\sqrt{3}$a=2b，
化简得，${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜C＜π，则C=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a+b=6，C=$\frac{π}{6}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{4}ab$≤$\frac{1}{4}（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$，
当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC的面积的最大值是$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式、两角和的正弦公式，以及基本不等式在求最值中的应用，考查化简、变形能力．