Question

10．已知直线l与x轴不垂直，且直线l过点M（2，0）与抛物线y²=4x交于A，B两点，则$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设出直线方程x=ky+2，代入抛物线方程消去x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理、弦长公式求得，计算|AM|，|BM|，进而可得$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$的值．

解答 解：直线l：x=ky+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ky-8=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-8．
AM²=（1+k²）y${{\;}_{1}}^{2}$，BM²=（1+k²）y${{\;}_{2}}^{2}$
则$\frac{1}{{{{|{AM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{BM}|}^2}}}$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}（\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{y}_{2}}^{2}}）$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{k}^{2}}•\frac{16{k}^{2}+16}{64}=\frac{1}{4}$
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理、弦长公式的运用，属于中档题．