Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点A（4，0），M是抛物线上除顶点外的动点，是否存在垂直于x轴的直线l被以MA为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设：抛物线方程为y²=2px，其准线方程为x=-

p

2

，根据抛物线的大于可得：4+

p

2

=5，进而得到答案；
（2）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M（

x1+4

2

，

y1

2

），过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²=（a-3）x₁+4a-a²，由此可得结论．

解答： 解：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4+

p

2

=5，∴∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M（

x1+4

2

，

y1

2

），过M作直线x=a的垂线，垂足为E，
设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（9分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2
=（a-3）x₁+4a-a²…（11分）
当a=3时，|EG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2

3

．…（12分）
因此存在直线m：x=3满足题意 …（13分）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题．