Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2

6

，B=2A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）依题意，利用正弦定理

3

sinA

=

2 6

sin2A

及二倍角的正弦即可求得cosA的值；
（2）易求sinA=

3

3

，sinB=

2 2

3

，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=

5 3

9

，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2

6

，B=2A，
∴由正弦定理得：

3

sinA

=

2 6

sin2A

，即

2sinAcosA

sinA

=

2 6

3

，
∴cosA=

6

3

；
（2）由（1）知cosA=

6

3

，A∈（0，π），
∴sinA=

3

3

，又B=2A，
∴cosB=cos2A=2cos²A-1=

1

3

，B∈（0，π），
∴sinB=

2 2

3

，
在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

1

3

+

6

3

×

2 2

3

=

5 3

9

，
∴c=

asinC

sinA

=

3× 5 3 9

3 3

=5．

点评：本题考查正弦定理，考查两角和的正弦与诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．