Question

10．已知函数f（x）=sinx（cosx-sinx），则下列说法正确的为（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{8}$
• C． 对称f（x）的最大值为$\sqrt{2}$
• D． 将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度后会得到一个奇函数的图象

Answer 1

分析 利用二倍角公式将函数化简y=Asin（ωx+φ）的形式，再结合三角函数的图象和性质，判断下列各项即可．

解答 解：由题意：函数f（x）=sinx（cosx-sinx），
化简：f（x）=sinxcosx-sin²x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$，
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，∴A不对．
函数f（x）的对称轴方程为x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），当k=0时，对称轴x=$\frac{π}{8}$，∴B对．
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值为1，∴函数f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$．∴C不对．
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-1，显然不是奇函数．∴D不对．
故选：B．

点评 本题考查了函数的化简能力和性质的综合运用能力，综合性强．属于中档题．