Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-3）的实数x的取值范围是（0，3）．

Answer 1

分析 当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），可得xf′（x）+f（x）＜0，因此F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，函数F（x）在x∈（-∞，0]上单调递减．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得F（x）是R上的偶函数，可得函数F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，即可得出．

解答 解：∵当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x）=-f（x），∴xf′（x）+f（x）＜0，
F（x）=xf（x），F′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数F（x）在x∈（-∞，0]上单调递减，
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴F（x）是R上的偶函数，∴函数F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∵F（3）＞F（2x-3），∴|2x-3|＜3，
解得0＜x＜3．
的实数x的取值范围是（0，3）．
故答案为：（0，3）．

点评 本题考查了函数的单调性奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．